INTRODUCCIÓN

“El enemigo no es el Mal sino el Infinito” sentenció Borges. Cuando no se le ocurría opinar de política, el maestro demostraba buena puntería. Claro, al Mal podemos oponerle el Bien. Pero ¿al Infinito? ¿Oponerle lo finito? ¿Lo finito más evolucionado que conocemos, es decir, nosotros mismos? ¿La nada? Tiempo perdido. Lo finito se opone a lo finito y la nada al ser. Y a todos el Infinito devora. Escrito con mayúscula, ninguna cosa le es externa, Él todo lo abarca, carece de oponente. En esas condiciones, “el enemigo” es invencible, escapa a los intentos de manipulación. Ahora bien, este enfoque ha hecho crisis y resulta interesante recordar cómo el pensamiento humano ha concebido al infinito, especialmente en matemáticas.

No siempre del mismo modo. Dos y medio milenios atrás, Aristóteles, el filósofo sin par de la Antigüedad, daba cuenta en su “Física” de la conclusión a que había arribado: “de ser divisible, cualquier parte que de él se tomara también sería infinita.” Por absurda, Aristóteles rechazó tal alternativa. Mucho después, en el siglo XVII, otra luminaria del pensamiento, Galileo, crítico del aristotelismo nada menos que en la concepción del movimiento, en esto del infinito es del mismo parecer. Hay que dejar atrás al Renacimiento y la Revolución Industrial, y arribar a la segunda mitad del siglo XIX para encontrar una nueva actitud del pensamiento frente al “enemigo”.

EL TODO Y LA PARTE

Estamos habituados a considerar universal esta propuesta nacida del sentido común: “el todo es mayor que la parte”. Y así la registra hace dos milenios Euclides en su obra clásica “Elementos”. Sin embargo, el ámbito de aplicación de esa propuesta se reduce al mundo de lo finito. Todo cambia cuando interviene el hechicero llamado Infinito. Allí, dirá en el siglo XIX el matemático Dedekind, “la parte es igual al todo”. Es la constatación de Aristóteles. Con la diferencia que Dedekind acepta lo negado por el griego. En una palabra, se levanta el veto aristotélico. Hay que aceptar al infinito como es por absurdo que a nuestros ojos aparezca: divisible y plural. De modo que el Infinito aludido al comienzo, omnicomprensivo, totalidad absoluta que no admite división, queda de lado, carece de funcionalidad. Puede ser concebido como necesario infinito en acto, pero no es operable. ¿Existe, no existe? Tanto da, de momento no nos sirve de nada.

Un ejemplo. Tomamos la serie de los números “de contar”. La mitad son pares y la otra mitad son nones. Pues bien, comparándolas entre sí, las tres son infinitas y en el mismo grado. No existen series que, no teniendo principio ni fin, sean “más grandes” unas que otras. Pero, siguiendo con el ejemplo, si señalizamos un tramo omitiendo los números pares o los nones, ese tramo será menor en contenidos que la serie general, la cual comprende tanto a pares como a nones. En rigor, estamos comparando finitos entre sí, y no podemos hacer otra cosa. Imagínense que saliéramos a buscar el principio o el fin del infinito...

En torno a estas cuestiones, versó la reflexión de los matemáticos de los siglos XIX y XX particularmente en Alemania. Entre todos, hoy la personalidad sobresaliente es reconocida en Cantor. Que, por cierto, en vida no lo fue y más bien su polemista, el matemático Kronecker, apareció como hombre de sano juicio frente a las “extravagancias” de Cantor, quien pasó los últimos veinte años de vida sumido en la depresión.

INFINITO EN ACTO Y EN POTENCIA

Pues bien, Aristóteles toma el buey por los cuernos. El Infinito es uno, pero su manifestación es dual. En acto, es decir, “todo” el Infinito, es atributo de Dios. En potencia, “incompleto”, es como se nos ofrece a los humanos, a nuestra inteligencia que es don divino. La relación entre diámetro y circunferencia es el infinito en potencia que nos rinde testimonio del Infinito en acto. De no existir Éste, tampoco habría aquél. Es, por lo demás, una de las pruebas de la existencia de Dios. Así, matemáticas y misticismo irán de la mano. El mismo Cantor, hereje matemático, será un creyente religioso lleno de fervor. Ahora bien, tal vez resulte más convincente la fórmula laica que acuñó Peano para la aritmética de los números cardinales, ya por cerrarse el siglo XIX: “El sucesor inmediato de un número es un número”. Ello implica la renuncia al número final y mayor de todos, suerte de dios matemático, renuncia que le viene de su propia naturaleza y no del infinito en acto. Y al mismo tiempo que entidad independiente, el sucesor inmediato completa la personalidad de su antecesor inmediato. Se hace una cadena necesaria al número, absolutamente necesaria, sine qua non.

Ahora bien, entre dos números en sucesión inmediata ¿media un lapso? Es bien conocido que matemáticas y temporalidad no se llevan bien. Se diría que las primeras han escapado a la segunda. ¿Qué edad tiene un triángulo rectángulo? ¿O un número? Son preguntas que carecen de sentido. Sin embargo, sea en el despliegue decimal del irracional “pi” sea en la serie de números “de contar”, hay un orden a tomar en cuenta. Si escribo 0, 1, 2, 4 (...) he hecho trampa que de poco y nada me sirve: ese número 4 hace las veces y cumple las funciones del 3, es decir, no escapa a su destino: sucesor del 2. Y no puedo llegar al 4 sin pasar por el 3. ¿Y que es pasar por el 3? En términos matemáticos, convocar a una entidad inmortal, el número. En términos humanos, enunciar un símbolo para dar lugar a su sucesor. Así que, retomando nuestra primera pregunta sobre si media un lapso entre dos números en sucesión inmediata, la respuesta afirmativa nos da con el infinito en potencia, en tanto la negativa con el infinito en acto. Pero nosotros nos manejamos con el primero en tanto el segundo, si existe, nos está vedado alcanzar pero sí podemos suponer como un eterno presente. Allí donde una cosa es y su contraria también es, donde todo está dado al infinito y el tiempo abolido pues todo está en acto brindándose sin necesitar de pasado ni de futuro, ambos se dan en el presente. Por esta vez, las matemáticas aceptan a mister Tiempo, no hay manera de construir el infinito en potencia sino en la sucesividad.

GEOMETRÍA Y CITA CON MI NOVIA

Y es así por decreto, la legitimación voluntarista del absurdo. Y sin embargo, funciona fijando posiciones en el espacio sin que por ello ocupe lugar, despojado de la virtud de la extensión. Claro, funciona en un espacio que no pretende ser real sino ideal; o bien, como podría decirse ahora, virtual. En verdad, se trata del culto a la diosa Perfección. El mundo físico me impide llegar a lo último de lo último, nunca puede descartarse la divisibilidad. Llegó a suponerse que el átomo era la unidad física, luego resultó estar compuesto de las llamadas partículas elementales. En matemáticas podemos recrear el universo. Dar por cierta una unidad sin partes ni extensión, es decir, inexistente desde el punto de vista físico, que además goce de la virtud generadora. Capaz de hacer de sí mismo una recta. De la recta, el plano. Del plano, el volumen. Esto es, pasar de lo no-dimensional a lo unidimensional, de éste a lo bidimensional, de éste a lo tridimensional, el volumen que finalmente nos recupera la materialidad.

¿Cómo lo logramos? A golpes de magia. Y la magia se llama infinito. Un infinito número de puntos da por resultado la línea. Si los puntos van todos en la misma dirección, es la línea recta. Un segundo golpe de magia y un infinito número de rectas “puestas de costado” arroja por resultado el plano. Un tercer golpe de magia y un infinito número de planos “apilados uno encima del otro” arroja por resultado el volumen.

Golpe de magia es también el que convierte al polígono regular en círculo. ¿Cómo? Otorgándole infinitos lados, su perímetro se ha convertido en circunferencia. Es nuevamente el golpe de magia. El círculo aparece así como la última figura posible, que ya no es poligonal. O, lo que viene a lo mismo, resulta un polígono de infinitos lados.

Permítanme. A la cita con mi novia puedo llegar cinco minutos tarde, media hora tarde, una hora tarde, etcétera. Pero ¿qué es lo más tarde que puedo llegar? No tengo alternativa: lo más tarde que puedo llegar es... nunca. Pero nunca ya no pertenece a la categoría tarde. Ya mi novia se emparejó con otro, ya es abuela y a mí me sacan de mi casa con los pies por delante... a mi cita de hace cincuenta años voy a llegar lo más tarde posible, esto es, nunca.

Pero hay más. La definición geométrica del infinito fue reconocida hace dos milenios por Sexto Empírico, griego antiguo, y reiterada por pensadores de la modernidad como Nicolás de Cusa. ¿Cuál es la definición geométrica? El infinito es un círculo cuyo centro está en todas partes y su circunferencia en ninguna. En una palabra, un círculo que se niega a sí mismo. El centro en todas partes parece una opción “cómoda” pero se trata de una trampa: resulta un punto cualquiera y a continuación se lo desnuda de circunferencia. En el más amplio sentido de la palabra: ésta no se encuentra en ninguna parte porque de estarlo limitaría al círculo al cual pertenece. Pero entonces se trata de una circunferencia que se confunde con el diámetro, devenidos ambos una recta de suyo infinita. Más claro: la circunferencia se va inflando como un globo de dos dimensiones, un arco asintótico cada vez más cercano de la recta pero que jamás hará una con ella porque necesita del golpe de magia del infinito. Dado, el círculo se esfuma y su centro ha perdido toda significación, resultando un punto cualquiera. El círculo ha sucumbido, le sobran centros y le falta circunferencia.

CONCLUSIONES

Estamos de regreso a la materialidad, habiendo partido de la nada, pues eso es el punto: una nada. ¿Quién derrotó a la Nada? El Infinito. Él es capaz de absorber los absurdos mayores, transmitiendo su virtud: el número de puntos es infinito, lo es también la recta por definición, igualmente el plano. En cambio, el volumen es finito. Claro, para su plena materialidad habrá que dotarlo de movimiento agregándole la cuarta dimensión, el tiempo. Pero el paso de lo virtual a lo real está dado. De la fantasía matemática al mundo físico. A la cuchara con que llevo la sopa a la boca. Para mí, de pasta, por favor. Al avión que tomo para recorrer grandes distancias. Pedí ventanilla, mire, está escrito, y ahora resulta que en mi lugar se ha sentado otro pasajero. Así, la cuchara y la sopa, el avión y las distancias que recorre para dejarme en Honolulú, el planeta, la galaxia, el conjunto de las galaxias, por desmesurados que nos aparezcan, son todos objetos de lo finito.

Nuestro mundo es el mundo de lo finito. Pero, curiosamente, lo es a condición de lo infinito. Cuchara, avión, planeta, galaxias... ¿y después? Tiene que haber algo más, y tras éste, un segundo algo más, y tras éste, otro, otro y así indefinidamente como ocurre con los números “de contar”. Incluso si al cabo está la nada, esa nada a estos efectos es un algo. No podemos concebir que tras “la última estrella” el universo se acabe, o que los números se agoten y exista uno final, el mayor de todos. No, el mismo Russell, que alguna vez lo supuso, más tarde reconoció su error. Carecemos de la percepción del infinito pero intuitivamente lo sabemos necesario. Y las matemáticas nos dan las noticias del universo que la física no se atreve: si finito a la medida de nuestros sentidos, infinito a la razón que se niega a concebir “lo último”.

No nos podemos imaginar el infinito salvo como una continuidad. A la vez, esa continuidad es necesario que se renueve indefinidamente pues tampoco podemos imaginar que el infinito se acabe. En potencia y en acto, este hechicero mayor, que en ocasiones se hace llamar Dios, nos empuja al agnosticismo: tanto no es concebible su presencia antropomórfica como su ausencia.

Ya ven, poderoso como ninguno, a veces nos tienta escribirlo con mayúscula y nombrarlo caballero. Don Infinito alias El Agnóstico y también alias El Panteísta, discípulo del filósofo Spinoza. Don Infinito, poderoso caballero, cuya voluntad en el universo se lee en las inexorables leyes físicas y cuyo imaginario son las matemáticas.